Diofanto di Alessandria

 

Vita

Ben poco si sa della vita di Diofanto, tranne una leggenda raccontata in una raccolta di problemi risalente al V o VI secolo, nota come l'Antologia Greca.

Nota: Dio gli concesse di rimanere fanciullo per un sesto della sua vita, e trascorso un altro dodicesimo, Egli gli coperse le guance di peluria: dopo un settimo della sua vita Egli gli accese la fiaccola del matrimonio, e cinque anni dopo il matrimonio gli concesse un figlio. Purtroppo questo bambino nato dopo tanto tempo fu sfortunato: dopo aver raggiunto la metà della vita di suo padre, fu portato via da un Destino crudele. Dopo aver consolato il proprio dolore con la scienza dei numeri per quattro anni, pose termine alla propria vita.

Secondo l'indovinello di quest'antologia Diofanto visse fino ad 84 anni, ma non si sa quanto sia attendibile.
In ogni caso pare che visse tra il II e il III secolo ad Alessandria.
Viene considerato il padre dell'algebra, ma vedremo che forse questo appellativo non è del tutto esatto.

 

Opere

L'opera principale di Diofanto a noi nota è l'Arithmetica, un trattato originariamente in 13 libri, di cui ci sono pervenuti soltanto i primi sei in greco e altri 4 in traduzione araba (rinvenuti nel '900 in una biblioteca dell'Iran).

Nota: nell'antica Grecia il termine aritmetica indicava la teoria dei numeri e non il calcolo numerico. In effetti l'opera di Diofanto è un trattato di teoria dei numeri e soluzione di equazioni algebriche determinate o indeterminate.

La prima edizione latina, tradotta dal greco, risale al 1575 ed è curata dal filologo e matematico Xylander; l'editio princeps a cura di Bachet è invece datata 1621 e comprende il testo greco unitamente al testo latino.

Nota: E' quest'ultima edizione quella adottata da P. Fermat: egli la studia e scrive le sue annotazioni sul margine (tra cui la famosissima nota in cui afferma di aver dimostrato che l'equazione an+bn=cn non ha soluzioni intere per n>2, ma non ha abbastanza spazio per scrivere la dimostrazione).

Il figlio di P. Fermat nel 1670 pubblica di nuovo l'edizione di Bachet arricchita delle note del padre.

 

L'Arithmetica contiene problemi formulati con il linguaggio generale dell'aritmetica, ma le soluzioni dei vari problemi non sono generali, ma tendono a fornire un metodo di soluzione mediante casi particolari. Possiamo riassumere così le sue caratteristiche generali:

  1. Non si tratta di un'esposizione sistematica di operazioni o funzioni algebriche o della soluzione di equazioni algebriche. Consiste invece in una raccolta di circa 150 problemi, tutti formulati in termini di esempi numerici specifici, anche se forse intendevano esemplificare un metodi risolutivi generali.
  2. Non v'è uno sviluppo a partire da postulati, nè viene fatto alcuno sforzo per trovare tutte le soluzioni possibili.
  3. Nel caso di equazioni di secondo grado con radici positive, viene data soltanto quella maggiore, mentre non vengono riconosciute radici negative.
  4. Non viene fatta alcuna netta distinzione tra problemi determinati e indeterminati, e anche in quest'ultimo caso, ove il numero delle soluzioni generalmente è illimitato, viene data una sola soluzione.
  5. Nota: l'analisi di problemi indeterminati, ossia problemi in cui il numero di incognite è superiore al numero delle equazioni porta ancora oggi il nome di analisi diofantea.

  6. Diofanto risolveva problemi che comportavano parecchie incognite esprimendo ingegnosamente tutte le quantità incognite, dove possibile, in termini di una sola di esse.
  7. Nel testo l'incognita viene indicata con il termine numero creando qualche ambiguità; nelle traduzioni moderne molte volte, per indicare l'incognita, è stato lasciato il termine usato da Diofanto arithme (=numero). Nei procedimenti a volte viene usato il simbolo r per indicare l'incognita.
  8. Un esempio:
    Il primo problema del I libro è: dividere un numero in due numeri di cui sia nota la somma e la differenza. Viene enunciato in generale, ma la soluzione è data in un caso particolare.
    Noi traduciamo questo problema nel sistema lineare composto dalle seguenti due equazioni: x+y=100 e x-y=40.
    Il modo di procedere di Diofanto è il seguente:

    1. Nota che i due numeri hanno differenza ossia sono l'uno maggiore dell'altro.
    2. Considera il minore e suppone che sia un arithme; di conseguenza l'altro numero cercato sarà l'arithme più 40.
    3. Considera quindi che 100 è uguale a due arithme più 40.
    4. Toglie i simili dai simili (ossia toglie 40 a destra e a sinistra dell'equazione).
    5. Ottiene che due arithme sono uguali a 60 ossia un arithme è uguale a 30.
    6. L'altro numero cercato sarà l'arithme trovato più 40.

 

Padre dell'algebra?

S'è discusso per molto tempo se l'appellativo di padre dell'algebra si addicesse o no a Diofanto.
Sicuramente la sua opera non presenta per nulla quel tipo di contenuti che forma la base dell'algebra elementare moderna e neppure è simile all'algebra geometrica di Euclide. In tutti i casi manca di generalità, poichè, come abbiamo detto, i problemi vengono risolti attraverso casi particolari.
Vi sono però aspetti dell'opera di Diofanto che vanno a favore della sua paternità dell'algebra; egli infatti, pur non abbandonando del tutto la formulazione retorica degli enunciati completamente scritti a parole, adotta un simbolismo un po' più sintetico e abbreviato. Dal punto di vista della notazione può quindi essere visto come precursore dell'algebra moderna.